Fonctions de la forme x ⟼ ax²+b

Soit \(a\) un nombre réel non nul et \(b\) un nombre réel.
On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\), par \(f(x)= ax^2+b\) .

Propriétés

Dans un repère orthogonal, la courbe représentant cette fonction est une parabole.
L'axe de symétrie de cette parabole est la droite d'équation \(x=0\).
Le sommet de cette parabole a pour coordonnées \((0~;b)\).

Exemples

La figure suivante montre l'allure des courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) définies pour tout réel \(x\) par \(f(x)=0{,}5x^2+1\) et \(g(x)=-0{,}5x^2+1\).

Propriété

Soit \(a\) un nombre réel non nul et \(b\) un nombre réel.
Dans un repère orthogonal \(\text{(O ;} \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )\), la parabole représentant la fonction \(x\mapsto ax^2+b\) est l'image de la parabole représentant la fonction \(x\mapsto ax^2\) par la translation de vecteur \(b\overrightarrow{v}\).